Ecuación General de la Parabola

Hasta ahora todas las ecuaciones de las parábolas que hemos analizado sirven para expresar parábolas horizontales o verticales. Pero, evidentemente, una parábola también puede ser oblicua o inclinada.

Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola, cuya fórmula es la siguiente:

La ecuación anterior se trata de una parábola si, y solo si, los coeficientes y no son simultáneamente nulos y, además, se cumple la siguiente condición: 

En muchos ejercicios y problemas de parábolas se pide calcular el vértice, el foco y la directriz de una determinada parábola. Por tanto, vamos a ver cómo se hace mediante un ejemplo:

• Halla el vértice, el foco y la directriz de la siguiente parábola:

Por lo tanto, el parámetro p es: 

Por otro lado, como la parábola sigue la ecuación reducida o canónica, significa que su vértice o centro está en el origen de coordenadas:  V=( 0 , 0 )

Una vez sabemos el vértice y el valor del parámetro de la parábola, podemos hallar su foco y directriz fácilmente.

El término cuadrático de la ecuación es la variable x de manera que el eje de la parábola será paralelo al eje OY y, de hecho, como su vértice es el punto (0,0), el eje de la parábola será el propio eje OY. Entonces, el foco de una parábola siempre está situado en el eje de la parábola y a una distancia de  P/2 del vértice de la parábola, por lo que sus coordenadas son:

Del mismo modo, la recta directriz será la recta horizontal que está a una distancia del vértice de la parábola, que es el origen de coordenadas. Por tanto, la ecuación de la recta directriz será: 

A continuación se ha representado gráficamente la parábola para que puedas comprobar los resultados: